На сторонах PQ, QR, RP треугольника PQR отложены отрезки AB, CD, EF. Внутри треугольника задана точка S₀. Найти геометрическое место точек S, лежащих внутри треугольника PQR, для которых сумма площадей треугольников SAB, SCD, SEF равна сумме площадей треугольников S₀AB, S₀CD, S₀EF. Рассмотреть особый случай, когда

= = .

   Решение

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

   Решение

На кольцевом треке 2n велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее n² встреч.

   Решение

Даны две прямые l₁ и l₂ и две точки A и B, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l₁ такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на прямой l₂ отрезок, а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E прямой l₂.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.3 существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).

Прислать комментарий

Решение

Даны две прямые l₁ и l₂ и две точки A и B, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l₁ такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на прямой l₂ отрезок, а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E прямой l₂.

Прислать комментарий

Решение

Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно, а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a и b в точках X и Y соответственно таких, что длины отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное произведение.

Прислать комментарий

Решение

Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.

Прислать комментарий

Решение

Даны окружность S и две хорды AB и CD. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на CD отрезок а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E хорды CD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]