ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания
описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
Каждая из трех прямых делит площадь фигуры
пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри
треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь,
не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.
В выпуклом четырехугольнике ABCD существуют
три внутренние точки
P1, P2, P3, не лежащие на одной
прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей
треугольников ABPi и CDPi равна сумме площадей
треугольников BCPi и ADPi для i = 1, 2, 3. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
Даны две пересекающиеся окружности радиуса R, причем
расстояние между их центрами больше R. Докажите, что
β = 3α (рис.).
а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле
S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),
где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ). в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то S2 = abcd sin2((B + D)/2). Докажите, что если
В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH.
Прямые, проведенные через произвольную точку P плоскости
перпендикулярно CA, CM и CB, пересекают прямую CH
в точках A1, M1 и B1. Докажите, что
A1M1 = B1M1.
Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно,
а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем
и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a
и b в точках X и Y соответственно таких, что длины
отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное
произведение.
|
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M,
лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1
и 30.3 существует единственное проективное преобразование
данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно
в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P.
Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M);
б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).
Даны две прямые l1 и l2 и две точки A и B, не
лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте
на прямой l1 такую точку X, чтобы прямые AX и BX
высекали на прямой l2 отрезок, а) имеющий данную длину a;
б) делящийся пополам в данной точке E прямой l2.
Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно,
а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем
и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a
и b в точках X и Y соответственно таких, что длины
отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное
произведение.
Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую,
на которой три данные прямые высекают равные отрезки.
Даны окружность S и две хорды AB и CD.
Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку X,
чтобы прямые AX и BX высекали на CD отрезок
а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной
точке E хорды CD.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке