Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 1. Метод математической индукции
>>
параграф 3. Индукция в геометрии и комбинаторике
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Радиусы двух окружностей равны R и r, а расстояние
между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности
пересекаются тогда и только тогда, когда
| R - r| < d < R + r.
Докажите, что
SABCD (AB . BC + AD . DC)/2.
Две окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2
касаются в точке A. Через точку A проведена прямая,
пересекающая S1 в точке A1 и S2 в точке A2. Докажите,
что
O1A1 || O2A2.
На отрезке длиной 1 дано n точек. Докажите, что
сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не
меньше n/2.
Остроугольный треугольник расположен внутри
окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной
окружности треугольника.
Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?
В лесу растут деревья цилиндрической формы.
Связисту нужно протянуть провод из точки A в точку B,
расстояние между которыми равно l. Докажите, что для
этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6l.
Докажите тождество:
1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB и CD
и углы A и C. Обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм?
На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными – единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра – единица, то выиграл первый игрок, если двойка – то второй.
а) Диагонали AC и BE правильного
пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная
окружность треугольника CKE касается прямой BC.
б) Пусть a — длина стороны правильного пятиугольника, d — длина его диагонали. Докажите, что
d2 = a2 + ad.
Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?
Докажите, что правильный треугольник можно
разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная
с шести.
Задачи Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]
Задача 60314 (#01.041) |
|
|
Из квадрата клетчатой бумаги размером
16×16
вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно
разрезать на "уголки'' из трех клеток.
|
|
Решение |
Задача 60315 (#1.42, 1.43, 1.44)[Ханойская башня I] |
|
|
а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?
б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?
в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?
|
|
|
Решение |
Задача 60318 (#01.045) |
|
|
Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для
любого n, начиная с шести.
|
|
|
Решение |
Задача 60319 (#01.046) |
|
|
Докажите, что правильный треугольник можно
разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная
с шести.
|
|
Решение |
Задача 60320 (#01.047)[Золотая цепочка] |
|
|
а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?
б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]
