Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 2. Комбинаторика >> параграф 4. Формула включений и исключений
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Евдокимов М.А.

Трём мудрецам показали 9 карт: шестерку, семерку, восьмерку, девятку, десятку, валета, даму, короля и туза (карты перечислены по возрастанию их достоинства). После этого карты перемешали и каждому раздали по три карты. Каждый мудрец видит только свои карты. Первый сказал: "Моя старшая карта – валет". Тогда второй ответил: "Я знаю, какие карты у каждого из вас". У кого из мудрецов был туз?

Вниз   Решение

Автор: Швецов Д.В.

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA1B1. Докажите, что  OI ⊥ AB.

ВверхВниз   Решение

Автор: Швецов Д.В.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND повторно пересекают стороны BC и AD в точках A1, B1, C1, D1. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1 вписан в окружность с центром N.

ВверхВниз   Решение

Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.
  а) Какая последняя цифра этого числа?
  б) Каковы десять последних цифр этого числа?

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 8 , а cos A = . Найдите высоту, проведенную к основанию.

ВверхВниз   Решение

Можно ли найти 57 различных двузначных чисел, чтобы сумма никаких двух из них не равнялась 100?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC угол C равен 90o , AC = 18 , sin A = . Найдите BC .

ВверхВниз   Решение

Найдите значение выражения log8208-log83,25

ВверхВниз   Решение

Автор: Дмитриев О.

Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и N, где  N > 5.  Какое наименьшее значение может иметь число N?

ВверхВниз   Решение

Новый градоначальник города Глупова решил с целью пополнения бюджета и экономии горючего провести кампанию борьбы с левым уклоном и левыми рейсами. Для этого он запретил водителям выполнять левые повороты, установив штраф за каждый такой поворот в размере одного миллиона (разворот на 180o поворотом налево не считается). От тяжелого прошлого Глупову достались улицы, которые могут пересекаться под любыми углами. Градоначальник приказал установить компьютерную систему тотальной слежки, которая следит за каждым автомобилем, записывая его координаты каждый раз, когда тот меняет направление движения (включая начальную и конечную точки пути).

Требуется написать программу, вычисляющую по записанной последовательности координат автомобиля штраф, который должен быть взыскан с водителя.

Входные данные
В первой строке входного файла содержится целое число N – количество записанных пар координат (1 ≤ N ≤ 1000). В каждой из следующих N строк записана очередная из этих пар.

Выходные данные
Выведите в выходной файл суммарный штраф водителя в миллионах.

Пример входного файла
4
0 0
1 0
1 1
2 1

Пример выходного файла
1

ВверхВниз   Решение

Пусть имеется n подмножеств A1, ..., An конечного множества E и $ \chi_{j}^{}$(x)  — характеристические функции этих множеств, то есть

$\displaystyle \chi_{j}^{}$(x) = \begin{displaymath}\begin{cases} 1,& x\in A_j,\\ 0,& x\in E\setminus A_j \end{cases}\end{displaymath}(j = 1,..., n).


Докажите, что при этом $ \chi$(x) — характеристическая функция множества A = A1 $ \cup$...$ \cup$ An, связана с функциями $ \chi_{1}^{}$(x), ..., $ \chi_{n}^{}$(x) формулой

1 - $\displaystyle \chi$(x) = (1 - $\displaystyle \chi_{1}^{}$(x))...(1 - $\displaystyle \chi_{n}^{}$(x)).


Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

  с решениями  

Задача 98648  (#02.098)

Тема:   [ Математическая логика (прочее) ]
Сложность: 2
Классы: 5,6

Слоны, носороги, жирафы. Во всех зоопарках, где есть слоны и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках, где есть носороги и нет жирафов, есть слоны. Наконец, во всех зоопарках, где есть слоны и жирафы, есть и носороги. Может ли быть такой зоопарк, в котором есть слоны, но нет ни жирафов, ни носорогов?
Прислать комментарий     Решение

Задача 60433  (#02.099)

 [Двоечники]
Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В классе имеется a1 учеников, получивших в течение года хотя бы одну двойку, a2 учеников, получивших не менее двух двоек, ..., ak учеников, получивших не менее k двоек. Сколько всего двоек в этом классе? (Предполагается, что ни у кого нет более k двоек.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 60434  (#02.100)

Тема:   [ Теория множеств (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Пусть имеется n подмножеств A1, ..., An конечного множества E и $ \chi_{j}^{}$(x)  — характеристические функции этих множеств, то есть

$\displaystyle \chi_{j}^{}$(x) = \begin{displaymath}\begin{cases} 1,& x\in A_j,\\ 0,& x\in E\setminus A_j \end{cases}\end{displaymath}(j = 1,..., n).


Докажите, что при этом $ \chi$(x) — характеристическая функция множества A = A1 $ \cup$...$ \cup$ An, связана с функциями $ \chi_{1}^{}$(x), ..., $ \chi_{n}^{}$(x) формулой

1 - $\displaystyle \chi$(x) = (1 - $\displaystyle \chi_{1}^{}$(x))...(1 - $\displaystyle \chi_{n}^{}$(x)).


Прислать комментарий     Решение

Задача 60435  (#02.101)

 [Формула включений и исключений]
Тема:   [ Формула включения-исключения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите справедливость равенства

| A1 $\displaystyle \cup$ A2 $\displaystyle \cup$...$\displaystyle \cup$ An| = | A1| +...+ | An| - | A1 $\displaystyle \cap$ A2| -
         - | A1 $\displaystyle \cap$ A3| -...- | An - 1 $\displaystyle \cap$ An| +...+ (- 1)n - 1| A1 $\displaystyle \cap$ A2 $\displaystyle \cap$...$\displaystyle \cap$ An|,

где через | A| обозначено количество элементов множества A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60436  (#02.102)

Тема:   [ Формула включения-исключения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из 100 студентов университета английский язык знают 28 студентов, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .