Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

   Решение

---

Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению   C_n = C₀C_n–1 + C₁C_n–2 + ... + C_n–1C₀.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 [Всего задач: 110]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60448  (#02.114)

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Сколько существует способов разрезать выпуклый (n+2)-угольник диагоналями на треугольники?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60449  (#02.115)  [Маршруты ладьи]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим шахматную доску n×n. Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60450  (#02.116)  [Очередь в кассу]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60451  (#02.117)  [Формула для чисел Каталана]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Комбинаторика орбит ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

  а) Пусть  {a₁, a₂,..., a_n}  – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n},  {a₂, ..., a_n, a₁},  ...,  {a_n, a₁, ..., a_n–1}  все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

  б) Выведите отсюда равенства:      где  (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2)  – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
  Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60452  (#02.118)  [Рекуррентное соотношение для чисел Каталана]

Тема:   [ Числа Каталана ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению   C_n = C₀C_n–1 + C₁C_n–2 + ... + C_n–1C₀.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 [Всего задач: 110]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями