а) Докажите, что для любого параллелограмма существует эллипс, касающийся сторон параллелограмма в их серединах.
б) Докажите, что для любого треугольника существует эллипс, касающийся сторон треугольника в их серединах.

   Решение

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)² точек целочисленной решётки.

   Решение

Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причём остается равносторонний шестиугольник.
Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

   Решение

Докажите, что для любого натурального N существует N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

   Решение

Через центр O правильного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁.
Докажите, что одно из чисел ¹/_OA1, ¹/_OB1 и ¹/_OC1 равно сумме двух других.

   Решение

Найдите    ( , ).

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      

  а) Пусть m₀ и m₁ – целые числа,  0 < m₁ ≤ m₀.  Докажите, что при некотором  k > 1  существуют такие целые числа a₀, a₁, ..., a_k и m₂, ..., m_k, что
m₁ > m₂ > m₃ > ... > m_k > 0,  a_k > 1,
  m₀ = m₁a₀ + m₂,
  m₁ = m₂a₁ + m₃,
  m₂ = m₃a₂ + m₄,
    ...
  m_k–2 = m_k–1a_k–1 + m_k,
  m_k–1 = m_ka_k,
и  (m₀, m₁) = m_k.

  б) Докажите, что для любого s от  k – 1  до 0 существуют такие числа u_s, v_s, что   m_su_s + m_s+1v_s = d,   где  d = (m₀, m₁).
  В частности, для некоторых u и v выполняется равенство  m₀u + m₁v = d.

Прислать комментарий

Решение

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение  ax + by = c  имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на  d = НОД(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Пусть  (a, b) = 1  и  a | bc.  Докажите, что  a | c.

Прислать комментарий

Решение

Найдите    ( , ).

Прислать комментарий

Решение

Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел a и b, если известно, что  ab = 600?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]