Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

По заданной последовательности положительных чисел  q1,..., qn, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:
    f0(x) = 1,
    f1(x) = x,
      ...
    fn+1(x) = (1 + qn)xfn(x) – qnfn–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

Вниз   Решение


Радиус окружности равен R. Найдите хорду, проведённую из конца данного диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса.

ВверхВниз   Решение


Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC, AHB, BHC и AHC, равны между собой.

ВверхВниз   Решение


Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный – 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n кратно 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996 и 2000 годы високосные, а 1997 и 1900 – нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII. До сих пор мы имели ввиду гражданский год, число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что григорианский год полностью согласован с астрономическим, найдите продолжительность астрономического года.

ВверхВниз   Решение


Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B . Известно, что AO1B= 90o , AO2B = 60o , O1O2=a . Найдите радиусы окружностей.

ВверхВниз   Решение


Через центр окружности, вписанной в трапецию, проведена прямая, параллельная основаниям.
Докажите, что отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен четверти периметра трапеции.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби   [a0; a1, ..., an, ...]  существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 173]      



Задача 60604  (#03.152)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Разлагая число a/b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения  ax – by = 1,  если
  a)  a = 101,  b = 13;   б)  a = 79,  b = 19.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60605  (#03.153)

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный – 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n кратно 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996 и 2000 годы високосные, а 1997 и 1900 – нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII. До сих пор мы имели ввиду гражданский год, число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что григорианский год полностью согласован с астрономическим, найдите продолжительность астрономического года.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60606  (#03.154)

Тема:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление  α = [a0; a1, ..., an–1, αn],  где a0 – целое, a1, a2, ..., an–1 – натуральные,  αn > 1  – иррациональное действительное. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60607  (#03.155)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби   [a0; a1, ..., an, ...]  существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60608  (#03.156)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью  α = [a0; a1, ..., an, ...].  Докажите, что     где Qk – знаменатели подходящих дробей.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 173]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .