ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Три окружности, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса r2 касается (внешним образом) окружностей радиуса r1 и r3. Докажите, что

r1 + r3 = $\displaystyle {\frac{2a^2(a^2-2b^2)}{a^4}}$r2.


Вниз   Решение

Докажите, что для любых комплексных чисел z, w справедливо равенство  ezew = ez+w.

ВверхВниз   Решение

Из квадрата клетчатой бумаги размером 16×16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на "уголки'' из трех клеток.

ВверхВниз   Решение

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью  α = [a0; a1, ..., an, ...].  Докажите, что     где Qk – знаменатели подходящих дробей.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 173]      

  с решениями  

Задача 60604  (#03.152)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Разлагая число a/b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения  ax – by = 1,  если
  a)  a = 101,  b = 13;   б)  a = 79,  b = 19.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60605  (#03.153)

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный – 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n кратно 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996 и 2000 годы високосные, а 1997 и 1900 – нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII. До сих пор мы имели ввиду гражданский год, число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что григорианский год полностью согласован с астрономическим, найдите продолжительность астрономического года.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60606  (#03.154)

Тема:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление  α = [a0; a1, ..., an–1, αn],  где a0 – целое, a1, a2, ..., an–1 – натуральные,  αn > 1  – иррациональное действительное. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60607  (#03.155)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби   [a0; a1, ..., an, ...]  существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60608  (#03.156)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью  α = [a0; a1, ..., an, ...].  Докажите, что     где Qk – знаменатели подходящих дробей.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 173]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .