Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
- параграф 1. Простые числа (30 задач)
- параграф 2. Алгоритм Евклида (45 задач)
- параграф 3. Мультипликативные функции (31 задача)
- параграф 4. О том, как размножаются кролики (35 задач)
- параграф 5. Цепные дроби (32 задачи)
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Докажите следующие свойства подходящих дробей:
а) PkQk–2 – Pk–2Qk = (–1)kak (k ≥ 2);
б) –
=
(k ≥ 1);
в) Q1 < Q2 < ... < Qn;
г) <
<
< ... ≤
≤ ... <
<
<
;
Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Для натуральных чисел a > b > 1 определим последовательность x1, x2, ... формулой . Найдите наименьшее d, при котором ни при каких a и b эта последовательность не содержит d последовательных членов, являющихся простыми числами.
Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр
MH длины 3 и проведены две наклонные, составляющие
с перпендикуляром углы по 30o . Угол между наклонными
равен 60o .
а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных.
б) На отрезке AB как на катете в плоскости α построен
прямоугольный треугольник ABC (угол A – прямой). Найдите
объём пирамиды MABC , зная, что cos BCM =
.
В треугольнике даны два угла α и β и радиус R описанной окружности. Найдите высоту, опущенную из вершины третьего угла треугольника.
Вневписанные окружности касаются сторон AB и AC треугольника ABC в точках P и Q соответственно. Точка L – середина PQ, точка M – середина BC. Точки L1 и L2 симметричны точке L относительно середин отрезков BM и CM соответственно. Докажите, что L1P = L2Q.
Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что PA = PD.
Вычислите следующие цепные дроби:
а) [5; (1, 2, 1, 10}]; б) [5; (1, 4, 1, 10}]; в) [2; (1, 1, 3}].
Дан треугольник ABC. Пусть I – центр его вписанной окружности, и пусть X, Y, Z – центры вписанных окружностей треугольников AIB, BIC и AIC соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника XYZ совпадает с I. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?
Последовательности {ak} и {bk} строятся по следующему закону: a1 = 1, an+1 = min(an, bn), bn+1 = |bn – an| (n ≥ 1).
а) Докажите, что an ≠ 0 и an стремится к 0 при n → ∞.
б) Докажите, что последовательность имеет предел и найдите этот предел.
Задачи Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 173]
Задача 60609 (#03.157) |
|
|
Последовательности {ak} и {bk} строятся по следующему закону: a1 = 1, an+1 = min(an, bn), bn+1 = |bn – an| (n ≥ 1).
а) Докажите, что an ≠ 0 и an стремится к 0 при n → ∞.
б) Докажите, что последовательность имеет предел и найдите этот предел.
|
|
Решение |
Задача 60610 (#03.158)[Юлианский календарь] |
|
|
Из астрономии известно, что год имеет 365,2420... = [365; 4, 7, 1, 3,...] так называемых "календарных суток". В Юлианском стиле каждый четвёртый год – високосный, то есть состоит из 366 дней. За сколько лет при таком календаре накапливается ошибка в одни сутки? На сколько дней отстает Юлианский календарь за 1000 лет? И вообще, почему он отстает, если юлианский год длиннее астрономического?
|
|
Решение |
Задача 60611 (#03.159)[Персидский календарь] |
|
|
Наиболее точный календарь ввёл в Персии в 1079 году персидский астроном, математик и поэт Омар Альхайями. Восстановите этот календарный стиль, рассмотрев третью подходящую дробь [365; 4, 7, 1] к длительности астрономического года. За сколько лет в этом календаре накапливается ошибка в одни сутки?
|
|
|
Решение |
Задача 60612 (#03.160) |
|
|
Вычислите следующие цепные дроби:
а) [5; (1, 2, 1, 10}]; б) [5; (1, 4, 1, 10}]; в) [2; (1, 1, 3}].
|
|
|
Решение |
Задача 60613 (#03.161) |
|
|
Разложите в цепные дроби числа:
а) ; б)
; ½ +
.
|
|
|
Решение |
Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 173]
