Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
>>
глава 10. Делимость-2
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
На плоскости даны три вектора
a,
b,
c, причем
a +
b +
c = 0. Докажите, что
эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины
тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |
|, |
|,
|
| можно составить треугольник.
На одной прямой взяты точки A1, B1 и C1, а на
другой — точки A2, B2 и C2. Прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C, A
и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной
прямой (Папп).
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.
Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он
правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.
Докажите неравенство для натуральных n > 1:
10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.
Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n8 + 1, либо n8 – 1 делится на 17.
Задачи Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 99]
Задача 30682 (#096) |
|
|
Пусть p – простое число, и a не делится на p. Докажите, что найдется натуральное число b, для которого ab ≡ 1 (mod p).
|
|
Решение |
Задача 60749 (#098) |
|
|
Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n8 + 1, либо n8 – 1 делится на 17.
|
|
Решение |
Задача 30685 (#099) |
|
|
а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (p единиц) не делится на p.
б) Пусть p > 5 – простое число. Докажите, что число 1...1 (p – 1 единица) делится на p.
|
|
|
Решение |
Задача 60750 (#100) |
|
|
Докажите, что при любом простом p делится на p.
|
|
|
Решение |
Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 99]
