Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 5. Числа, дроби, системы счисления >> параграф 3. Двоичная и троичная системы счисления
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Коля Васин задумал число: 1, 2 или 3. Вы задаете ему только один вопрос, на который он может ответить `` да'', ``нет'' или ``не знаю''. Сможете ли вы угадать число, задав всего лишь один вопрос?

Вниз   Решение

Пусть a и b – два положительных числа, причём  a < b.  Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается  μ(a, b).

ВверхВниз   Решение

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) xn + 1 = $ {\dfrac{1}{1+x_n}}$,    x0 = 1;
б) xn + 1 = sin xn,     x0 = a $ \in$ (0;$ \pi$);
в) xn + 1 = $ \sqrt{a+x}$,    a > 0, x0 = 0.

ВверхВниз   Решение

Решить в простых числах уравнение  pqr = 7(p + q + r).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.

ВверхВниз   Решение

Марсианские амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи 4.20.
Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства

f (A) $\displaystyle \oplus$ f (B) = f (C),    f (A) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (B),    f (B) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (A).

Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?

ВверхВниз   Решение

В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.

ВверхВниз   Решение

Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно  n –1  раз и не проводя никакое ребро дважды.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что при x≠πn (n– целое) sin x и cos x рациональны тогда и только тогда, когда число tg $ {\dfrac{x}{2}}$ рационально.

ВверхВниз   Решение

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

а) ;     д) ;
б) ;     е) ;
в) ;     ж) .
г) ;  

ВверхВниз   Решение

Что останется от прямоугольника? Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находятся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой исключительной точки.

ВверхВниз   Решение

Ним-сумма. Будем говорить, что число n является ним-суммой чисел m и k ( m $ \oplus$ k = n), если оно получается из чисел m и k после следующих преобразований.
1) m и k записываются в двоичной системе счисления

m = (ms...m1m0)2,        k = (ks...k1k0)2

(меньшее число дополняется спереди нулями).
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:

(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0) $\displaystyle \equiv$ (ns,..., n1, n0)(mod 2).

3) Набор цифр (ns,..., n1, n0) переводится в число n:

(ns...n1n0)2 = n.


Например, 4 $ \oplus$ 7 = 3, так как

4 = (100)2,    7 = (111)2,    (1, 0, 0) + (1, 1, 1) $\displaystyle \equiv$ (0, 1, 1)(mod 2),    (011)2 = 3.

Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:
а) m $ \oplus$ m = 0; б) m $ \oplus$ k = k $ \oplus$ m; в) (m $ \oplus$ t) $ \oplus$ k = m $ \oplus$ (t $ \oplus$ k);
г) если n$ \ne$ 0 и

m1 $\displaystyle \oplus$ m2 $\displaystyle \oplus$...$\displaystyle \oplus$ ml = n, (5.1)

то найдется такой номер j ( 1 $ \leqslant$ j $ \leqslant$ l), для которого mj $ \oplus$ n < mj.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

Задача 60914  (#05.076)

Тема:   [ Ним-сумма ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Ним-сумма. Будем говорить, что число n является ним-суммой чисел m и k ( m $ \oplus$ k = n), если оно получается из чисел m и k после следующих преобразований.
1) m и k записываются в двоичной системе счисления

m = (ms...m1m0)2,        k = (ks...k1k0)2

(меньшее число дополняется спереди нулями).
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:

(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0) $\displaystyle \equiv$ (ns,..., n1, n0)(mod 2).

3) Набор цифр (ns,..., n1, n0) переводится в число n:

(ns...n1n0)2 = n.


Например, 4 $ \oplus$ 7 = 3, так как

4 = (100)2,    7 = (111)2,    (1, 0, 0) + (1, 1, 1) $\displaystyle \equiv$ (0, 1, 1)(mod 2),    (011)2 = 3.

Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:
а) m $ \oplus$ m = 0; б) m $ \oplus$ k = k $ \oplus$ m; в) (m $ \oplus$ t) $ \oplus$ k = m $ \oplus$ (t $ \oplus$ k);
г) если n$ \ne$ 0 и

m1 $\displaystyle \oplus$ m2 $\displaystyle \oplus$...$\displaystyle \oplus$ ml = n, (5.1)

то найдется такой номер j ( 1 $ \leqslant$ j $ \leqslant$ l), для которого mj $ \oplus$ n < mj.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60915  (#05.077)

 [Игра "Ним"]
Темы:   [ Ним-сумма ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Игра ``Ним''. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Для анализа игры каждому набору кучек камней m1, m2, ..., ml поставим в соответствие его ним сумму (5.1 ).
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n$ \ne$ 0.
б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.
в) Опишите выигрышную стратегию в игру ``Ним''.
г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и 5 камней?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60916  (#05.078)

Темы:   [ Ним-сумма ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Марсианские амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи 4.20.
Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства

f (A) $\displaystyle \oplus$ f (B) = f (C),    f (A) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (B),    f (B) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (A).

Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60917  (#05.079)

Темы:   [ Ним-сумма ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Проанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога'' из задачи 4.21.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60918  (#05.080)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Ним-сумма ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Игра ``Шоколадка''. Имеется шоколадка, состоящая из 6×8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:


\begin{picture} (80,42)\multiput(0,0)(0,7){7}{\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(10,0){9}{\line(0,1){42}} \put(23,8.5){$x$} \end{picture}
Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой, делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька.
а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях?
б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки?
в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .