ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Применим метод Ньютона (см. задачу 61328) для
приближённого нахождения корней многочлена f(x) = x² – x – 1. Какие последовательности чисел получатся, если Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам: a0 = a, b0 = b, an+1 =
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел. Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).
Исследуйте последовательности на сходимость:
Решить в простых числах уравнение pqr = 7(p + q + r).
Марсианские
амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные
игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение
задачи 4.20.
f (A)
Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?
Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой. В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.
Имеется несколько кучек камней.
Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять
из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную
стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а)
выигрывает; б) проыигрывает.
Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно n –1 раз и не проводя никакое ребро дважды.
Докажите, что при
x≠πn (n– целое) sin x и cos x рациональны
тогда и только тогда, когда число
tg Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
Что останется от прямоугольника?
Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и
b которого находятся в пропорции золотого сечения,
то есть удовлетворяют равенству
a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из
бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной
стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший
квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова
золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола
так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и
поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим.
Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой
стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка
прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже
отсечена. Определите положение этой исключительной точки.
Ним-сумма. Будем
говорить, что число n является ним-суммой чисел m и k
(
m
m = (ms...m1m0)2, k = (ks...k1k0)2
(меньшее
число дополняется спереди нулями).
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:
(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0)
3) Набор цифр
(ns,..., n1, n0) переводится в число n:
(ns...n1n0)2 = n.
Например, 4
4 = (100)2, 7 = (111)2, (1, 0, 0) + (1, 1, 1)
Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:
а) m г) если n то найдется такой номер j ( 1 |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Ним-сумма. Будем
говорить, что число n является ним-суммой чисел m и k
(
m
m = (ms...m1m0)2, k = (ks...k1k0)2
(меньшее
число дополняется спереди нулями).
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:
(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0)
3) Набор цифр
(ns,..., n1, n0) переводится в число n:
(ns...n1n0)2 = n.
Например, 4
4 = (100)2, 7 = (111)2, (1, 0, 0) + (1, 1, 1)
Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:
а) m г) если n то найдется такой номер j ( 1
Игра ``Ним''. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из
них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое)
количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто
взял последний камень.
Для анализа игры каждому набору кучек камней m1, m2, ...,
ml поставим в соответствие его ним сумму (5.1
).
Марсианские
амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные
игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение
задачи 4.20.
f (A)
Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?
Проанализируйте при помощи ним-сумм игру
``Йога''
из
задачи 4.21.
Игра ``Шоколадка''. Имеется шоколадка, состоящая из 6×8 = 48 долек. Одна из долек отмечена: а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях? б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки? в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке