Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 8. Алгебра + геометрия >> параграф 3. Тригонометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Предложите способ измерения диагонали обычного кирпича, который легко реализуется на практике (без теоремы Пифагора).

Вниз   Решение

Автор: Малинникова Е.

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.
Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)

ВверхВниз   Решение

Игра со спичками. На столе лежит 37 спичек. Разрешается по очереди брать не более 5 спичек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю. Кто выигрывает при правильной игре?

ВверхВниз   Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?

ВверхВниз   Решение

Докажите тождества:
а) sin$ \alpha$ + sin$ \beta$ + sin$ \gamma$ - sin($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$) = 4 sin$ {\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$sin$ {\dfrac{\beta+\gamma}{2}}$sin$ {\dfrac{\alpha+\gamma}{2}}$;
б) cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ + cos$ \gamma$ + cos($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$) = 4 cos$ {\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$cos$ {\dfrac{\beta+\gamma}{2}}$cos$ {\dfrac{\alpha+\gamma}{2}}$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

Задача 61209  (#08.048)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Докажите тождества:
а) sin$ \alpha$ + sin$ \beta$ + sin$ \gamma$ - sin($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$) = 4 sin$ {\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$sin$ {\dfrac{\beta+\gamma}{2}}$sin$ {\dfrac{\alpha+\gamma}{2}}$;
б) cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ + cos$ \gamma$ + cos($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$) = 4 cos$ {\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$cos$ {\dfrac{\beta+\gamma}{2}}$cos$ {\dfrac{\alpha+\gamma}{2}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61210  (#08.049)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите тождество:

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle {\frac{\sin(\alpha+\beta+\gamma)}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}}$ = tg $\displaystyle \alpha$tg $\displaystyle \beta$tg $\displaystyle \gamma$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61211  (#08.050)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Найдите алгебраическую связь между углами $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$, если известно, что

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ = tg $\displaystyle \alpha$ . tg $\displaystyle \beta$ . tg $\displaystyle \gamma$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61212  (#08.051)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что если $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = $ \pi$, то

sin$\displaystyle \alpha$ + sin$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \gamma$ = 4 cos$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61213  (#08.052)

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
а) f1(x) = a cos x + b sin x;
б) f2(x) = a cos2x + b cos x sin x + c sin2x.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .