ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 8. Алгебра + геометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Представьте числовое выражение  2·2009² + 2·2010²  в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

.

Вниз   Решение

На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников.

ВверхВниз   Решение

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = SaoSboSc. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

ВверхВниз   Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

ВверхВниз   Решение

Пусть cos x + cos y = a, sin x + sin y = b. Вычислите cos(x + y) и sin(x + y).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 90]      

  с решениями  

Задача 61212  (#08.051)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что если $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = $ \pi$, то

sin$\displaystyle \alpha$ + sin$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \gamma$ = 4 cos$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61213  (#08.052)

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
а) f1(x) = a cos x + b sin x;
б) f2(x) = a cos2x + b cos x sin x + c sin2x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61214  (#08.053)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Пусть cos x + cos y = a, sin x + sin y = b. Вычислите cos(x + y) и sin(x + y).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61215  (#08.054)

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10,11

Докажите, что функция cos$ \sqrt{x}$ не является периодической.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61216  (#08.055)

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10

При каких целых значениях n функция

y = cos nx . sin$\displaystyle {\dfrac{5}{n}}$x

имеет период 3$ \pi$?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 90]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам