ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 8. Алгебра + геометрия >> параграф 3. Тригонометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число an – 1 простое, то  a = 2  и n – простое.
(Числа вида  q = 2n – 1  называются числами Мерсенна.)

Вниз   Решение

От вершины C равнобедренного треугольника ABC с основанием AB, отложены равные отрезки: CA1 на стороне CA, и CB1 на стороне CB.
Докажите равенство треугольников:
  1) CAB1 и CBA1;
  2) ABB1 и BAA1.

ВверхВниз   Решение

Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка, аналогичную формуле Бине (см. задачи 60578 и 60587).
Определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь.

ВверхВниз   Решение

Докажите формулу:

arccos x = $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$


Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

Задача 61234  (#08.073)

Темы:   [ Обратные тригонометрические функции ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Найдите сумму:

arctg $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + arctg $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ arctg $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$,

если числа a1, a2,..., an + 1 образуют арифметическую прогрессию с разностью r (a1 > 0, r > 0).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61235  (#08.074)

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Обратные тригонометрические функции ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что числа Фибоначчи {Fn} удовлетворяют соотношению

arcctg F2n - arcctg F2n + 2 = arcctg F2n + 1. (8.2)

Получите отсюда равенство

arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +...+ arcctg F2n + 1 +...= $\displaystyle {\dfrac{\pi}{4}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61236  (#08.075)

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Обратные тригонометрические функции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что при x > 1 выполняется равенство:

2arctg x + arcsin$\displaystyle {\frac{2x}{1+x^2}}$ = $\displaystyle \pi$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61237  (#08.076)

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Обратные тригонометрические функции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Решите уравнение

arcsin$\displaystyle {\dfrac{x^2-8}{8}}$ = 2 arcsin$\displaystyle {\dfrac{x}{4}}$ - $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61238  (#08.077)

Тема:   [ Обратные тригонометрические функции ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10

Докажите формулу:

arccos x = $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$


Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .