Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 10. Неравенства
>>
параграф 2. Суммы и минимумы
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.
В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.
Даны 12 чисел, a1, a2,...a12, причём имеют место следующие неравенства:
| a2(a1 - a2 + a3) | < | 0 |
| a3(a2 - a3 + a4) | < | 0 |
| ......... | ||
| a11(a10 - a11 + a12) | < | 0 |
Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {bn} следующим образом: b1 = 1, bk+1 = P(bk) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {bn}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.
Куб 3×3×3 составлен из 14 белых и 13 чёрных кубиков со стороной
1. Столбик – это три кубика, стоящих рядом вдоль одного направления:
ширины, длины или высоты. Может ли быть так, что в каждом столбике
а) нечётное количество белых кубиков?
б) нечётное количество чёрных кубиков?
Построить треугольник по основанию, высоте и разности углов при основании.
Докажите, что
6r a + b.
Докажите, что
2bc cos/(b + c) < b + c - a < 2bc/a.
Докажите, что
На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая,
проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A
и B. Докажите, что произведение
PA . PB не зависит от
выбора прямой.
Внутри выпуклого многоугольника расположены две точки.
Докажите, что найдётся четырёхугольник с вершинами в вершинах этого многоугольника, содержащий эти две точки.
Выведите из неравенства задачи 61401
а) неравенство Коши-Буняковского:
б) неравенство между средним арифметическим и средним
квадратичным: ≤
;
в) неравенство между средним арифметическим и средним
гармоническим: ≤
.
Значения переменных считаются положительными.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 61400 (#10.049)[Сумма минимумов и минимум суммы] |
|
|
Предположим, что имеется набор функций f1(x), ..., fn(x), определённых на отрезке [a, b]. Докажите неравенство:
|
|
Решение |
Задача 61401 (#10.050) |
|
|
Докажите неравенство: + ... +
≥
.
Значения переменных считаются положительными.
|
|
|
Решение |
Задача 61402 (#10.051) |
|
|
Выведите из неравенства задачи 61401
а) неравенство Коши-Буняковского:
б) неравенство между средним арифметическим и средним
квадратичным: ≤
;
в) неравенство между средним арифметическим и средним
гармоническим: ≤
.
Значения переменных считаются положительными.
|
|
Решение |
Задача 61403 (#10.052) |
|
|
Докажите неравенство:
Значения переменных считаются положительными.
|
|
|
Решение |
Задача 61404 (#10.053) |
|
|
Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
а) ≤
неравенство Коши);
б)
в) где b1 + ... + bn = 1.
Значения переменных считаются положительными.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
