Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде     где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.

   Решение

Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.

   Решение

Если  a ≡ b (mod m)  и  c ≡ d (mod m),  то  a + c ≡ b + d (mod m).

   Решение

Внутри угла AOB, равного 120°, проведены лучи OC и OD так, что каждый из них является биссектрисой какого-то из углов, получившихся на чертеже. Найдите величину угла AOC, указав все возможные варианты.

   Решение

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

   Решение

Жители острова Невезения, как и мы с вами, делят сутки на несколько часов, час на несколько минут, а минуту на несколько секунд. Но у них в сутках 77 минут, а в часе 91 секунда. Сколько секунд в сутках на острове Невезения?

   Решение

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если
а)  s = 4;   б)  s = 5;   в)  s = 6;   г)  s = 7.
Определение диаграмм Юнга смотри в справочнике.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

Докажите неравенства:
  а)  x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ x²yz + xy²z + xyz²;
  б)  x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
  в)  x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴ ≥ 4xyzt;
  г)   x⁵ + y⁵ ≥ x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

  Определение. Пусть  α = (k, j, i)  – набор целых неотрицательных чисел,  k ≥ j ≥ i.  Через T_α(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида x^ay^bz^c по всем шести перестановкам  (a, b, c)  набора  (k, j, i).
  Аналогично определяются многочлены T_α для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.
  Запишите через многочлены вида T_α неравенства
  а)  x⁴y + y⁴x ≥ x³y² + x²y³;
  б)  x³yz + y³xz + z³xy ≥ x²y²z + y²z²x + z²x²y.

Прислать комментарий

Решение

Напишите многочлены T_α и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов α
  а)  (3, 2);    б)  (3, 2, 1);    в)  (3, 3, 0, 0);    г)  (4, 1, 1, 0).
Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, определение диаграмм Юнга в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если
а)  s = 4;   б)  s = 5;   в)  s = 6;   г)  s = 7.
Определение диаграмм Юнга смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что     тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида

(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]