ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть  α = (α1, ..., αn)  и  β = (β1, ..., βn)  – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  x1, ..., xn  выполняется неравенство  Tα(x1, ..., xn) ≥ Tβ(x1, ..., xn).
Определение многочленов Tα смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

   Решение

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 76]      



Задача 61422  (#10.071)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11

а) Диаграммы Юнга  (4, 1, 1)  и  (3, 3, 0)  не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6?

б) Найдите все несравнимые пары наборов для  s = 7.

Про диаграммы Юнга смотри здесь.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61423  (#10.072)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть  Tα(x, y, z) ≥ Tβ(x, y, z)  для всех неотрицательных x, y, z. Докажите, что  

Определение многочленов Tα смотри в задаче 61417, про показатели смотри в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61424  (#10.073)

 [Неравенство Мюрхеда]
Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Пусть  α = (α1, ..., αn)  и  β = (β1, ..., βn)  – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  x1, ..., xn  выполняется неравенство  Tα(x1, ..., xn) ≥ Tβ(x1, ..., xn).
Определение многочленов Tα смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61425  (#10.074)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Выведите из неравенства Мюрхеда (задача 61424) неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61426  (#10.075)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x4y²z + y4x²z + y4z²x + z4y²x + x4z²y + z4x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x5 + y5 + z5x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 76]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .