ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты  AA1, BB1 и CC1. Докажите, что периметр треугольника A1B1C1 не превосходит половины периметра треугольника ABC.

Вниз   Решение

Найдите представление для $ \Delta$(an . bn) через $ \Delta$an и $ \Delta$bn. Сравните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.

ВверхВниз   Решение

На сторонах произвольного треугольника ABC вне его построены равнобедренные треугольники A'BC, AB'C и ABC' с вершинами A', B' и C' и углами $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$ при этих вершинах, причем $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = 2$ \pi$. Докажите, что углы треугольника A'B'C' равны $ \alpha$/2, $ \beta$/2, $ \gamma$/2.

ВверхВниз   Решение

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R $ \leq$ h.

ВверхВниз   Решение

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.

ВверхВниз   Решение

Вычислите сумму

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$Cnk(- 1)k$\displaystyle \left(\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right.$1 - $\displaystyle {\dfrac{k}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right)^{n}_{}$.


Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

Задача 61438  (#11.011)

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Вычислите сумму

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$Cnk(- 1)k$\displaystyle \left(\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right.$1 - $\displaystyle {\dfrac{k}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right)^{n}_{}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61439  (#11.012)

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для всех m в промежутке 1 $ \leqslant$ m < n выполняется равенство:

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}$(- 1)kkmCnk = 0.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61440  (#11.013)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть числа  y0, y1, ..., yn  таковы, что для любого многочлена  f (x) степени  m < n  справедливо равенство:       (*)
Докажите, что    ,   где λ – некоторое фиксированное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61441  (#11.014)

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Докажите следующие свойства оператора взятия конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования:

а) $ \Delta$$ {\dfrac{1}{b_n}}$ = - $ {\dfrac{\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$;        б) $ \Delta$$ \left(\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right.$$ {\dfrac{a_n}{b_n}}$$ \left.\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right)$ = $ {\dfrac{b_n\Delta a_n-a_n\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61442  (#11.015)

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Найдите представление для $ \Delta$(an . bn) через $ \Delta$an и $ \Delta$bn. Сравните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .