Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 11. Последовательности и ряды
- параграф 1. Конечные разности (30 задач)
- параграф 2. Рекуррентные последовательности (29 задач)
- параграф 3. Производящие функции (32 задачи)
- параграф 4. Многочлены Гаусса (8 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Докажите, что площадь треугольника, стороны которого
равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.
Решите уравнение a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + 2/5 = 0.
Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?
В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN. Докажите, что АР = ВС.
а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи
F(x) = F0 + F1x + F2x² + ... + Fnxn + ...
может быть записана в виде где
=
,
=
.
б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.
Вычислите производящие функции следующих
последовательностей:
| а) an = n; б) an = n2; в) an = Cmn. |
Докажите, что степень точки P относительно
окружности S равна d2 - R2, где R — радиус S, d — расстояние от
точки P до центра S.
Функции a, b и c заданы рядами
Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.
Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2, S3. Найдите площадь S данного треугольника.
Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?
Садовник, привив черенок редкого растения,
оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по
6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично.
Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста
первоначального растения?
Найдите у чисел а) (6 + )1999; б) (6 +
)1999; в) (6 +
)2000 первые 1000 знаков после запятой.
Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни
x1,..., xk, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни x1, ..., xm с кратностями α1, ..., αm соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в
справочнике.
Задачи Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 100]
Задача 61478 (#11.051) |
|
|
Докажите, что при всех натуральных n
выполняется сравнение
[(1 + )n]
n(mod 2).
|
|
Решение |
Задача 61479 (#11.052) |
|
|
Докажите, что последовательность an = 1 + 17n² (n ≥ 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
|
|
|
Решение |
Задача 61480 (#11.053) |
|
|
Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:
|
|
|
Решение |
Задача 61481 (#11.054) |
|
|
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?
|
|
|
Решение |
Задача 61482 (#11.055) |
|
|
Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни
x1,..., xk, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни x1, ..., xm с кратностями α1, ..., αm соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в
справочнике.
|
|
Решение |
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 100]
