Версия для печати
Убрать все задачи

---

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

   Решение

---

По кругу расставлено 2n действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из n подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116936  (#10.5)

Тема:   [ Математическая логика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

30 девочек – 13 в красных платьях и 17 в синих платьях – водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116951  (#11.5)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64348  (#9.5)

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

По кругу расставлено 2n действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из n подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64355  (#10.5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 2 и 4 ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Существует ли такое натуральное n, что для любых ненулевых цифр a и b число  anb  делится на  ab ?  (Через  x...y  обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел x, ..., y.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64363  (#11.5)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями