В четырёхугольнике длины всех сторон и диагоналей меньше 1 м. Доказать, что его можно поместить в круг радиуса 0,9 м.

   Решение

Положительные числа a, b, c таковы, что  a² + b² – ab = c².  Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

   Решение

Есть три кучи камней. Разрешается к любой из них добавить столько камней, сколько есть в двух других кучах, или из любой кучи выбросить столько камней, сколько есть в двух других кучах. Например:  (12, 3, 5)  →  (12, 20, 5)  (или  (4, 3, 5)).  Можно ли, начав с куч 1993, 199 и 19, сделать одну из куч пустой?

   Решение

Найдите геометрическое место таких точек X, что касательные, проведенные из X к данной окружности, имеют данную длину.

   Решение

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Пусть a^b обозначает число a^b. В выражении  7^7^7^7^7^7^7  надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок).
Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.

Прислать комментарий

Решение

Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
х₁ = а  и  х₂ = b.  Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу:  x_n = O(х_n–1 + х_n–2),  где  n = 3, 4, ... .
  а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
  б) Как найти это число, зная числа a и b?

Прислать комментарий

Решение

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

Прислать комментарий

Решение

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]