Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 64658 (#1)

Темы:	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Клепцын В.А.

Незнайка хвастается, что написал в ряд несколько единиц, поставил между каждыми соседними единицами знак "+" или "×", расставил скобки и получил выражение, значение которого равно 2014; более того, если в этом выражении заменить одновременно все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", все равно получится 2014. Может ли он быть прав?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64659 (#2)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Формула Герона	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и
а) равными наибольшими сторонами?
б) равными наименьшими сторонами?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64660 (#3)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64661 (#4)

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Жуков Г.

Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64723 (#5)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]