Версия для печати
Убрать все задачи

---

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30.  Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что  A + B = C  и  C > 1000 rad(ABC)?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64713  (#1)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида ¹/_n, где n – натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64714  (#2)

Темы:   [ Системы точек ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное k, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64715  (#3)

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Теорема косинусов ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дано n палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64653  (#4)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64717  (#5)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30.  Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что  A + B = C  и  C > 1000 rad(ABC)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями