Версия для печати
Убрать все задачи

---

   а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

   б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

   Решение

---

Вдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
  а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придётся поменять ровно 4 фонаря.
  б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придётся поменять при очередной замене.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC  AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AA₁ и B₁C₁ пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A₁KC₁ и A₁KB₁, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
  а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.

  б)  

   Решение

---

Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом   A_kOA_k+1 на прямых   A₁A_2k, A₂A_2k–1, ..., A_kA_k+1,  равна R.

   Решение

---

Пусть p – простое число. Докажите, что  (a + b)^p ≡ a^p + b^p (mod p)  для любых целых a и b.

   Решение

---

Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность S и ее центр O, то с помощью одной линейки можно:
а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр;
б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку;
в) построить отрезок длиной ab/c, где a, b, c — длины данных отрезков;
г) построить точки пересечения данной прямой l с окружностью, центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного отрезка;
д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.

   Решение

---

Докажите, что при нечётном  n > 1  справедливо равенство  

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  x² + y² = x + y + 2.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC  CH – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает больший катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите, что:
  а)  B'M || BC;
  б)  AK – касательная к окружности.

   Решение

---

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND повторно пересекают стороны BC и AD в точках A₁, B₁, C₁, D₁. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ вписан в окружность с центром N.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65005  (#4)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND повторно пересекают стороны BC и AD в точках A₁, B₁, C₁, D₁. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ вписан в окружность с центром N.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64703  (#8.5)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Известно, что в треугольнике HLM прямая AH является высотой, а BL – биссектрисой. Докажите, что CM является в этом треугольнике медианой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64738  (#9.5)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64746  (#10.5)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65006  (#5)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями