Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64740  (#9.7)

Темы:   [ Окружность Аполлония ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Птолемея ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

В треугольнике ABC  AL_a и AM_a – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ω_a – окружность, симметричная описанной окружности Ω_a треугольника AL_aM_a относительно середины BC. Окружность ω_b определена аналогично. Докажите, что ω_a и ω_b касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64748  (#10.7)

Темы:   [ Правильные многогранники (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Каждый из двух правильных многогранников P и Q разрезали плоскостью на две части. Одну из частей P и одну из частей Q приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65008  (#7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Удвоение медианы ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что  O₁M = O₂M.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64706  (#8.8)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A₁I и B₁I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A₂ и B₂, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A₂B₂ пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64741  (#9.8)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить k точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре.
Найдите наименьшее k, достаточное для любого исходного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями