Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64744  (#10.3)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Малые шевеления ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65004  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что  ∠AXB = ∠A'C'B' + ∠ACB  и  ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC.
Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64702  (#8.4)

Темы:   [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В равные углы X₁OY и YOX₂ вписаны окружности ω₁ и ω₂, касающиеся сторон OX₁ и OX₂ в точках A₁ и A₂ соответственно, а стороны OY – в точках B₁ и B₂. C₁ – вторая точка пересечения A₁B₂ и ω₁, а C₂ – вторая точка пересечения A₂B₁ и ω₂. Докажите, что C₁C₂ – общая касательная к окружностям.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64737  (#9.4)

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Точка Лемуана ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC отметили точки A', B' касания сторон BC, AC c вписанной окружностью и точку G пересечения отрезков AA' и BB'. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64745  (#10.4)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Кривые второго порядка ] [ Проективные преобразования плоскости ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями