Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

   Решение

---

На плоскости даны прямая l и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку M, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM, наименьшее.

   Решение

---

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65385  (#1)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

У каждого целого числа от  n + 1  до 2n включительно (n – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.
Докажите, что получится n².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65387  (#2)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Шахматная раскраска ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Какое наименьшее количество квадратиков 1×1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25×25, разделённого на 625 квадратиков 1×1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65388  (#3)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Теория алгоритмов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

У продавца и покупателя в сумме 1999 рублей монетами и купюрами в 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, причём денег у покупателя достаточно. Докажите, что покупатель сможет купить кота, получив причитающуюся сдачу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108101  (#4)

Темы:   [ Площадь четырехугольника ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Углы между биссектрисами ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть A, B, C и D – вершины их прямых углов, а O₁, O₂, O₃ и O₄ – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что
  а) площадь четырёхугольника ABCD не превосходит 2;
  б) площадь четырёхугольника O₁O₂O₃O₄ не превосходит 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65390  (#5)

Темы:   [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями