Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 65693 (#10.1)

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Даны квадратные трёхчлены f₁(x), f₂(x), ..., f₁₀₀(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i. Какие значения может принимать сумма f₂(x₁) + f₃(x₂) + ... + f₁₀₀(x₉₉) + f₁(x₁₀₀)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65700 (#10.2)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Дмитриев О., Женодаров Р.Г.

Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65701 (#10.3)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Хорды и секущие (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Авторы: Зиманов Т., Кожевников П.А.

На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки K и L (точкаK лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что AK = KN = DN и BL = BC = CM. Докажите, что если BCNK – вписанный четырёхугольник, то и ADML тоже вписан.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65710 (#10.4)

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Дана клетчатая таблица 100×100, клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?

Прислать комментарий Решение

Задача 65702 (#10.5)

Темы:	[	Теория множеств (прочее)	]
Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]