Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]

Задача 65465

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC медианы AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в точке M.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA₀B₀, MCB₀, MA₀C₀, MBC₀ и точка M лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65716

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Зимин А.

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65729

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Пусть p – простое число, большее 10^k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65731

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

а) Есть 2n + 1 батарейка (n > 2). Известно, что хороших среди них на одну больше, чем плохих, но какие именно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. В фонарик вставляются две батарейки, при этом он светит, только если обе они хорошие. За какое наименьшее число таких попыток можно гарантированно добиться, чтобы фонарик светил?

б) Та же задача, но батареек 2n (n > 2), причём хороших и плохих поровну.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65735

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кноп К.А.

В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Можно выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос “есть ли дорога между ними?”. Нужно узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]