ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Туры:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число an + 1 простое, то a чётно и n = 2k. Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O1 и O2. Пусть a1 и a2 — внутренние касательные к этим окружностям, a3 и a4 — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a5 и a6 — касательные к окружности с центром в O1, проведённые из точки O2, a7 и a8 — касательные к окружности с центром в точке O2, проведённые из точки O1. Обозначим через O точку пересечения a1 и a2. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a3 и a4, вторая касалась a5, a6, a7, a8, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой. К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида: Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел a и b из одного множества число ab – 1 принадлежало другому? Докажите неравенство pn+1 < p1p2...pn (pk – k-е простое число). Дан квадрат со стороной 1. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD? Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что: На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину (P, Q). Докажите, что (P, Q) = (Q, P). Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной а) не более $14а$; б) не более $13а$? Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$. По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик? На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени f1 и g1, что f + g = f1 + g1 или fg = f1g1. Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней. |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]
На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени f1 и g1, что f + g = f1 + g1 или fg = f1g1. Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.
У Деда Мороза было n сортов конфет, по k штук каждого сорта. Он распределил все конфеты как попало по k подаркам, в каждый – по n конфет, и раздал их k детям. Дети решили восстановить справедливость. Два ребёнка готовы передать друг другу по конфете, если каждый получает конфету сорта, которого у него нет. Всегда ли можно организовать серию обменов так, что у каждого окажутся конфеты всех сортов?
а) Есть неограниченный набор карточек со словами "abc", "bca", "cab". Из них составляют слово по такому правилу. В качестве начального слова выбирается любая карточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся слову можно либо приклеить карточку слева или справа, либо разрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеить карточку туда. Можно ли так составить палиндром? б) Есть неограниченный набор красных карточек со словами "abc", "bca", "cab" и синих карточек со словами "cba", "acb", "bac". Из них по тем же правилам составили палиндром. Верно ли, что было использовано одинаковое количество красных и синих карточек?
На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях: а) N = 3; б) N = 4.
Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке