-
Региональный этап
(21 задача)
Заключительный этап
(20 задач)
Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Точки A1,..., An лежат на одной окружности, а M — их центр масс. Прямые MA1,..., MAn пересекают эту окружность в точках B1,..., Bn (отличных от A1,..., An). Докажите, что MA1 +...+ MAn
РешениеПрямые l и m пересекаются в точке O, прямые l1 и m1 получены из прямых l и m поворотом на некоторый угол относительно точки O. Докажите, что композиция симметрий относительно l и m и композиция симметрий относительно l1 и m1 — одно и то же преобразование.
РешениеМожно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы каждые два соседних числа отличались либо на 2, либо в два раза?
РешениеВыпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
Решение
Задачи
Задача 66160 (#10.6) |
|
|
Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
|
|
Решение |
Задача 66027 (#9.7) |
|
|
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
|
|
|
Решение |
Задача 66027 (#10.7) |
|
|
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
|
|
|
Решение |
Задача 66031 (#11.7) |
|
|
На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.
|
|
|
Решение |
Задача 66153 (#9.7) |
|
Неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠C = 60°, вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла A выбрана точка A', а на биссектрисе угла B – точка B' так, что AB' || BC и B'A || AC. Прямая A'B' пересекает Ω в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
