Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская устная олимпиада по геометрии
>>
15 (2017 год)
>>
10-11 класс
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?
В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников, площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.
Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?
Из прямоугольника 3×6 вырезали одну клетку (см. рис.). «Пришейте» эту клетку в другом месте так, чтобы получилась фигура, которую можно разрезать на две одинаковых.
В выпуклом четырехугольнике АВСD точка Е — середина CD, F — середина АD, K — точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.
Дан треугольник ABC. Пусть O — точка пересечения
его медиан, а M, N и P — точки сторон AB, BC и CA,
делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е.
AM : MB = BN : NC = CP : PA = p : q). Докажите, что:
а) O — точка пересечения медиан треугольника MNP;
б) O — точка пересечения медиан треугольника, образованного
прямыми AN, BP и CM.
Как связаны между собой десятичные представления чисел
и
?
Подряд выписаны n чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.
Разделить a128 – b128 на (a + b)(a² + b²)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16)(a32 + b32)(a64 + b64).
В треугольнике ABC угол B равен 60o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.
Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 66141 (#1) |
|
|
Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов.
|
|
Решение |
Задача 66142 (#2) |
|
|
Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?
|
|
Решение |
Задача 66143 (#3) |
|
|
На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 66144 (#4) |
|
|
Докажите, что окружность, построенная на стороне AB треугольника ABC как на диаметре, касается его вписанной окружности тогда и только тогда, когда сторона AB равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.
|
|
|
Решение |
Задача 66145 (#5) |
|
Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Описанная окружность треугольника A1BC1 пересекает прямые B1A1 и B1C1 в точках A0 и C0 соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A0BC0, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
