Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
42 турнир (2020/2021 год)
>>
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?
Решение
Окружности $\alpha$ и $\beta$ с центрами в точках $A$ и $B$ соответственно пересекаются в точках $C$ и $D$. Отрезок $AB$ пересекает окружности $\alpha$ и $\beta$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Луч $DK$ вторично пересекает окружность $\beta$ в точке $N$, а луч $DL$ вторично пересекает окружность $\alpha$ в точке $M$. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника $KLMN$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$. Решение
Убрать все задачи
Секретная база окружена прозрачным извилистым забором в форме невыпуклого многоугольника, снаружи – болото. Через болото проложена прямая линия электропередач из 36 столбов, часть из которых стоит снаружи базы, а часть – внутри. (Линия электропередач не проходит через вершины забора.) Шпион обходит базу снаружи вдоль забора так, что забор всё время по правую руку от него. Каждый раз, оказавшись на линии электропередач, он считает, сколько всего столбов находится по левую руку от него (он их все видит). К моменту, когда шпион обошёл весь забор, он насчитал в сумме 2015 столбов. Сколько столбов находится внутри базы?
РешениеКогда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?
РешениеОкружности $\alpha$ и $\beta$ с центрами в точках $A$ и $B$ соответственно пересекаются в точках $C$ и $D$. Отрезок $AB$ пересекает окружности $\alpha$ и $\beta$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Луч $DK$ вторично пересекает окружность $\beta$ в точке $N$, а луч $DL$ вторично пересекает окружность $\alpha$ в точке $M$. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника $KLMN$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Даны $n$ натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на чёрную доску их среднее арифметическое, а на белую доску — их среднее геометрическое,
и для каждой пары хотя бы одно из этих двух средних было целым. Докажите, что хотя бы на одной из досок все числа целые.
Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots $ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?
Окружности $\alpha$ и $\beta$ с центрами в точках $A$ и $B$ соответственно пересекаются в точках $C$ и $D$. Отрезок $AB$ пересекает окружности $\alpha$ и $\beta$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Луч $DK$ вторично пересекает окружность $\beta$ в точке $N$, а луч $DL$ вторично пересекает окружность $\alpha$ в точке $M$. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника $KLMN$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.
За каждым из двух круглых столиков сидит по $n$ гномов. Каждый дружит только со своими соседями по столику слева и справа.
Добрый волшебник хочет рассадить гномов за один круглый стол так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой.
Он имеет возможность подружить $2n$ пар гномов (гномы в паре могут быть как с одного столика, так и с разных),
но после этого злой волшебник поссорит между собой $n$ пар гномов из этих $2n$ пар.
При каких $n$ добрый волшебник может добиться желаемого, как бы ни действовал злой волшебник?
Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников,
которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых?
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 66882 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66883 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66884 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66880 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66886 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
