Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 915]

Задача 66934

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Khurmi A., Sudharshan K.V.

Дан вписанный в окружность $\Omega$ четырехугольник $ABCD$. На диагонали $AC$ берутся пары точек $P$, $Q$ таких, что лучи $BP$ и $BQ$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$. Найдите геометрическое место центров окружностей $PDQ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66935

Тема:

[

Невыпуклые многоугольники

]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Назовем почти выпуклым несамопересекающийся многоугольник, у которого ровно один внутренний угол больше $180^\circ$.

На плоскости даны $1000000$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Может ли оказаться, что существует ровно десять различных почти выпуклых $1000000$-угольников с вершинами в этих точках?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66950

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]
	[	Композиция преобразований плоскости	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Agarwal P.

Пусть $\gamma_A$, $\gamma_B$, $\gamma_C$ – вневписанные окружности треугольника $ABC$, касающиеся сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Обозначим через $l_A$ общую внешнюю касательную окружностей $\gamma_B$ и $\gamma_C$, отличную от $BC$. Аналогично определим $l_B$, $l_C$. Из точки $P$, лежащей на $l_A$, проведем отличную от $l_A$ касательную к $\gamma_B$ и найдем точку $X$ ее пересечения с $l_C$. Аналогично найдем точку $Y$ пересечения касательной из $P$ к $\gamma_C$ с $l_B$. Докажите, что прямая $XY$ касается $\gamma_A$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66954

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Пусть $AM$ – медиана неравнобедренного треугольника $ABC$, $T$ – точка касания вписанной окружности $\omega$ со стороной $BC$, $S$ – вторая точка пересечения $\omega$ с отрезком $AT$. Докажите, что вписанная окружность треугольника $\delta$, образованного прямыми $AM$, $BC$ и касательной к $\omega$ в точке $S$, касается описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66956

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 915]