Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 172 173 174 175 176 177 178 >> [Всего задач: 915]

Задача 67253

Темы:	[	Радикальная ось	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ с центрами $X$, $Y$, $Z$, $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$, $CA$, $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ в отношении $2:1$, считая от $X$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67347

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин А.

Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ касается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке $F$. Из середины $O$ гипотенузы $AB$ проведена касательная $OE$ к $\omega$, отличная от $AB$. Докажите, что $CE=CF$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67349

Тема:

[

Изогональное сопряжение

]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Марданов А.

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Отрезки $BB_1$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $D$. Точка $E$ – проекция точки $D$ на сторону $AC$. Точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $EP=PD$, $EQ=QD$. Докажите, что $\angle PDB_1=\angle EDQ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67377

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Векшин М., Кузнецов С.

Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Прямые, проходящие через точку $A$ параллельно $BI$, $CI$ пересекают серединный перпендикуляр к $AI$ в точках $S$, $T$ соответственно. Прямые $BT$ и $CS$ пересекаются в точке $Y$, а точка $A^*$ такова, что $BICA^*$ параллелограмм. Докажите, что середина отрезка $YA^*$ лежит на вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67381

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Галяпин Г.

Общие касательные к описанной и вневписанной окружностям треугольника $ABC$ пересекают прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно. Треугольник $\Delta_1$ образован прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, а треугольник $\Delta_2$ – прямыми $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$. Докажите, что радиусы описанных окружностей этих треугольников равны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 172 173 174 175 176 177 178 >> [Всего задач: 915]