Версия для печати
Убрать все задачи

---

На клетчатой доске 10×10 в одной из клеток сидит бактерия. За один ход бактерия сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две бактерии (обе остаются в той же клетке). Затем снова одна из сидящих на доске бактерий сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две, и так далее. Может ли после нескольких таких ходов во всех клетках оказаться поровну бактерий?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67261

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67265

Темы:   [ Раскраски ] [ Инварианты ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На клетчатой доске 10×10 в одной из клеток сидит бактерия. За один ход бактерия сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две бактерии (обе остаются в той же клетке). Затем снова одна из сидящих на доске бактерий сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две, и так далее. Может ли после нескольких таких ходов во всех клетках оказаться поровну бактерий?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67294

Темы:   [ Правильная пирамида ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Соображения непрерывности ] [ Построения в пространстве (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дана треугольная пирамида $SABC$, основание которой – равносторонний треугольник $ABC$, а все плоские углы при вершине $S$ равны $\alpha$. При каком наименьшем $\alpha$ можно утверждать, что эта пирамида правильная?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67296

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В таблице $44\times 44$ часть клеток синие, а остальные красные. Никакие синие клетки не граничат друг с другом по стороне. Множество красных клеток, наоборот, связно по сторонам (от любой красной клетки можно добраться до любой другой красной, переходя из клетки в клетку через общую сторону и не заходя в синие клетки). Докажите, что синих клеток в таблице меньше трети.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67297

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр его вписанной окружности, $P$ – такая точка на стороне $AB$, что угол $PIB$ прямой, $Q$ – точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$. Докажите, что точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями