Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2024 г.)
классы:
-
Заочный тур
(24 задачи)
8 класс
(8 задач)
9 класс
(8 задач)
10 класс
(8 задач)
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Решение
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина меньшей дуги $BC$ описанной окружности. Окружность $\omega$ касается сторон $AB$, $AC$ в точках $P$, $Q$ соответственно и проходит через точку $M$. Докажите,что $BP+CQ=PQ$. Решение
Убрать все задачи
На плоскости отмечены несколько (больше трёх) точек. Известно, что если выкинуть любую точку, то оставшиеся будут симметричны относительно какой-нибудь прямой. Верно ли, что все множество точек тоже симметрично относительно какой-нибудь прямой?
РешениеНа 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, ..., 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Доказать, что в результате получится чётное число.
РешениеВ остроугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина меньшей дуги $BC$ описанной окружности. Окружность $\omega$ касается сторон $AB$, $AC$ в точках $P$, $Q$ соответственно и проходит через точку $M$. Докажите,что $BP+CQ=PQ$.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Биссектрисы $AI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $C_1$ соответственно.
Описанная окружность треугольника $AIC_1$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_0$; аналогично определим $A_0$.
Докажите, что точки $A_0,$ $A_1$, $C_0$, $C_1$ лежат на одной прямой.
Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами описанной, вписанной и вневписанной окружностей?
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина меньшей дуги $BC$ описанной окружности. Окружность $\omega$ касается сторон $AB$, $AC$ в точках $P$, $Q$ соответственно и проходит через точку $M$. Докажите,что $BP+CQ=PQ$.
В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.
Точки $A'$, $B'$, $C'$ соответственно симметричны вершинам $A$, $B$, $C$ относительно противоположных сторон треугольника $ABC$. Докажите, что окружности $AB'C'$, $A'BC'$ и $A'B'C$ пересекаются в одной точке.
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Задача 67334 (#1 [8 кл]) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67335 (#2 [8 кл]) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67336 (#3 [8 кл]) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67337 (#4 [8 кл]) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67338 (#5 [8 кл]) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
