На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?

   Решение

Cлава перемножил первые n натуральных чисел, а Валера перемножил первые m чётных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

   Решение

На прямой даны 3 точки A, B, C. На отрезке AB построен равносторонний треугольник ABC₁, на отрезке BC построен равносторонний треугольник BCA₁. Точка M — середина отрезка AA₁, точка N — середина отрезка CC₁. Доказать, что треугольник BMN — равносторонний. (Точка B лежит между точками A и C; точки A₁ и C₁ расположены по одну сторону от прямой AB.)

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?

Прислать комментарий

Решение

На прямой даны 3 точки A, B, C. На отрезке AB построен равносторонний треугольник ABC₁, на отрезке BC построен равносторонний треугольник BCA₁. Точка M — середина отрезка AA₁, точка N — середина отрезка CC₁. Доказать, что треугольник BMN — равносторонний. (Точка B лежит между точками A и C; точки A₁ и C₁ расположены по одну сторону от прямой AB.)

Прислать комментарий

Решение

Найти четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

Прислать комментарий

Решение

Решить систему уравнений:
   x₁ + x₂ + x₃ = 6,
   x₂ + x₃ + x₄ = 9,
   x₃ + x₄ + x₅ = 3,
   x₄ + x₅ + x₆ = –3,
   x₅ + x₆ + x₇ = –9,
   x₆ + x₇ + x₈ = –6,
   x₇ + x₈ + x₁ = –2,
   x₈ + x₁ + x₂ = 2.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что в произведении  (1 – x + x² – x³ + ... – x⁹⁹ + x¹⁰⁰)(1 + x + x² + x³ + ... + x⁹⁹ + x¹⁰⁰)  после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих x в нечётной степени.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]