Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1958 год
>>
9 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
Решение
Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d2 - R2, где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра S.
Решение
Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.
Решение
Решение
Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
Решение
Решение
Убрать все задачи
Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
РешениеДокажите, что степень точки P относительно окружности S равна d2 - R2, где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра S.
РешениеДокажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.
РешениеМалыш и Карлсон вместе съели банку варенья. При этом Карлсон съел на 40% меньше ложек варенья, чем Малыш, но зато в его ложке помещалось на 150% варенья больше, чем в ложке Малыша. Какую часть банки варенья съел Карлсон?
РешениеИз каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
РешениеРешить в целых положительных числах уравнение
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Бесконечная плоская ломаная
A0A1...An..., все углы которой прямые,
начинается в точке A0 с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат
O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно
биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает
одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную
длину. Расстояние OAn = ln. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна
sn. Доказать, что найдётся n, для которого
> 1958.
Какое наибольшее число осей симметрии может иметь пространственная фигура,
состоящая из трёх прямых, из которых никакие две не параллельны и не
совпадают?
Отрезок длиной 3n разбивается на три равные части. Первая и третья из них
называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части,
из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока
не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются
отмеченными точками. Доказать, что для любого целого
k(1
k3n) можно
найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно k.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78140 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 78141 (#2) |
|
|
Доказать, что если |ax² – bx + c| < 1 при любом x из отрезка [–1, 1], то и |(a + b)x² + c| < 1 на этом отрезке.
|
|
|
Решение |
Задача 78142 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78143 (#4) |
|
|
Решить в целых положительных числах уравнение
|
|
|
Решение |
Задача 78144 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
