Версия для печати
Убрать все задачи

---

Некто А загадал число от 1 до 15. Некто В задает вопросы на которые можно отвечать ``да" или ``нет". Может ли В отгадать число, задав a) 4 вопроса; б) 3 вопроса.

   Решение

---

Окружности S₁,..., S_n проходят через точку O. Кузнечик из точки X_i окружности S_i прыгает в точку X_{i + 1} окружности S_{i + 1} так, что прямая X_iX_{i + 1} проходит через точку пересечения окружностей S_i и S_{i + 1}, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности S₁ на S₂, с S₂ на  S₃,..., с S_n на S₁) кузнечик вернется в исходную точку.

   Решение

---

Решить в натуральных числах уравнение  x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78156

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Внутри угла AOB взята точка C, опущены перпендикуляры CD на сторону OA и CE на сторону OB. Затем опущены перпендикуляры EM на сторону OA и DN на сторону OB. Доказать, что  OC ⊥ MN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78159

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Решить в натуральных числах уравнение  x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78137

Тема:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78147

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 11

На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78162

Темы:   [ Покрытия ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Обозначим через a наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник M, через b — наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника M. Какое из чисел больше, a или b?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями