Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78287 (#1)

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78288 (#2)

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

ABC – равнобедренный треугольник; AB = BC, BH – высота, M – середина стороны AB, K – точка пересечения BH с описанной окружностью треугольника BMC. Доказать, что BK = ³/₂ R, где R – радиус описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78289 (#3)

Темы:	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

"Уголком" называется фигура, составленная из трёх квадратов со стороной 1 в виде буквы "Г".
Доказать, что прямоугольник размерами 1961×1963 нельзя разбить на уголки, а прямоугольник размерами 1963×1965 – можно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78290 (#4)

Темы:	[	Разложение на множители	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78291 (#5)

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Системы точек	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]