Версия для печати
Убрать все задачи

---

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.

   Решение

---

В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- волшебники?

   Решение

---

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30884  (#041)

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Докажите неравенство   ¼ a² + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc  при любых a, b, c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30885  (#042)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

k, l, m – натуральные числа. Докажите, что  2^k+l + 2^k+m + 2^l+m ≤ 2^k+l+m+1 + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78470  (#043)

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30887  (#044)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что     при любых x и y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30888  (#045)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

x, y > 0.  Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями