Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78502 (#1)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78503 (#2)

Темы:	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Правило произведения	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

На листе бумаги нанесена сетка из n горизонтальных и n вертикальных прямых. Сколько различных замкнутых 2n-звенных ломаных можно провести по линиям сетки так, чтобы каждая ломаная проходила по всем горизонтальным и всем вертикальным прямым?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78504 (#3)

Темы:	[	Неравенства с векторами	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78505 (#4)

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

A', B', C', D', E' — середины сторон выпуклого пятиугольника ABCDE. Доказать, что площади пятиугольников ABCDE и A'B'C'D'E' связаны соотношением:

S_A'B'C'D'E' $\displaystyle \ge$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABCDE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78506 (#5)

Тема:

[

Рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Последовательность чисел a₁, a₂,..., a_n... образуется следующим образом:

a₁ = a₂ = 1; a_n = $\displaystyle {\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}}$ (n $\displaystyle \ge$ 3).

Доказать, что все числа в последовательности — целые.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]