Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]

Задача 78800

Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 11

Даны два набора чисел: a₁, ..., a_n и b₁, ..., b_n. Расположим числа a_k в возрастающем порядке, а числа b_k – в убывающем порядке. Получатся наборы
A₁ ≤ ... ≤ A_n, B₁ ≥ ... ≥ B_n. Доказать, что max{a₁ + b₁, ..., a_n + b_n} ≥ max{A₁ + B₁, ..., A_n + B_n}.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55723

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Виленкин А.Н.

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ взята точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на A₂P, из A₂ — перпендикуляр на A₃P, из A₃ — на A₄P, из A₄ — на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекается в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 78782

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

n точек расположены в вершинах выпуклого n-угольника. Внутри этого n-угольника отметили k точек. Оказалось, что любые три из n + k точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число k?

Прислать комментарий Решение

Задача 78802

Темы:	[	Ортогональная проекция (прочее)	]
Темы:	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

В пространстве даны точка O и n попарно непараллельных прямых. Точка O ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий все точки, которые могут быть получены таким образом?

Прислать комментарий Решение

Задача 78796

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]