Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78808 (#1)

Тема:

[

Числовые таблицы и их свойства

]

Сложность: 3+
Классы: 9

В некоторых клетках квадратной таблицы n×n стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78809 (#2)

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через A и A'. Длинные палочки разделены на n равных частей точками a₁, ..., a_{n - 1}; a'₁, ..., a'_{n - 1} (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa₁, Aa₂, ..., Aa_{n - 1}; A'a₁, A'a'₂, ..., A'a'_{n - 1}. Точку пересечения прямых Aa₁ и A'a₁ обозначим через X₁, прямых Aa₂ и A'a₂ — через X₂ и т.д. Доказать, что точки X₁, X₂, ..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.

Прислать комментарий Решение

Задача 78810 (#3)

Тема:

[

Взвешивания

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)

Прислать комментарий Решение

Задача 78811 (#4)

Тема:

[

Линейные неравенства и системы неравенств

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Имеется набор натуральных чисел, причём сумма любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100.
Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78812 (#5)

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30^o. Доказать, что треугольник ABC правильный.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]