На лист клетчатой бумаги размером n×n клеток кладутся чёрные и белые кубики, причём каждый кубик занимает ровно одну клетку. Первый слой кубиков положили произвольно, а затем вспомнили, что каждый чёрный кубик должен граничить с чётным числом белых, а каждый белый — с нечётным числом чёрных. Кубики во второй слой положили так, чтобы для всех кубиков первого слоя выполнялось это условие. Если для всех кубиков второго слоя это условие уже выполняется, то больше кубиков не кладут, если же нет, то кладут третий слой так, чтобы чтобы для всех кубиков второго слоя выполнялось это условие, и так далее. Существует ли такое расположение кубиков первого слоя, что этот процесс никогда не кончится?

   Решение

а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.

   Решение

Докажите, что площадь S треугольника равна abc/4R.

   Решение

Пусть K(x) равно числу таких несократимых дробей ^a/_b, что  a < x  и  b < x  (a и b – натуральные числа). Например,  K(⁵/₂) = 3  (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму  K(100) + K(¹⁰⁰/₂) + K(¹⁰⁰/₃) + ... + K(¹⁰⁰/₉₉) + K(¹⁰⁰/₁₀₀).

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.

Прислать комментарий

Решение

Пусть K(x) равно числу таких несократимых дробей ^a/_b, что  a < x  и  b < x  (a и b – натуральные числа). Например,  K(⁵/₂) = 3  (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму  K(100) + K(¹⁰⁰/₂) + K(¹⁰⁰/₃) + ... + K(¹⁰⁰/₉₉) + K(¹⁰⁰/₁₀₀).

Прислать комментарий

Решение

На плоскости проведено 300 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее 100 треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]