Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

   Решение

---

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

   Решение

---

Внутри окружности расположен прямоугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $DA$ пересекают окружность в точках $A_1$ и $A_2$. Точка $A_0$ – середина хорды $A_1A_2$. Аналогично определяются точки $B_0$, $C_0$, $D_0$. Докажите, что отрезки $A_0C_0$ и $B_0D_0$ равны.

   Решение

---

Даны окружность, её хорда AB и середина W меньшей дуги AB. На большей дуге AB выбирается произвольная точка C. Касательная к окружности, проведённая из точки C, пересекает касательные, проведённые из точек A и B, в точках X и Y соответственно. Прямые WX и WY пересекают прямую AB в точках N и M соответственно. Докажите, что длина отрезка NM не зависит от выбора точки C.

   Решение

---

Найдите все положительные числа x₁, x₂, ..., x₁₀, удовлетворяющие при всех  k = 1, 2,..., 10  условию   (x₁ + ... + x_k)(x_k + ... + x₁₀) = 1.

   Решение

---

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

   Решение

---

На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.

   Решение

---

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

   Решение

---

Точки I_A, I_B, I_C – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из I_A на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из I_B на BC, в точке X_C. Аналогично определяются точки X_A и X_B. Докажите, что прямые I_AX_A, I_BX_B и I_CX_C пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В прямоугольнике проведена ломаная, соседние звенья которой перпендикулярны и равны меньшей стороне прямоугольника (см. рис).
Найдите отношение сторон прямоугольника.

   Решение

---

Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника A₁A₂...A₇ взята произвольно точка O. Обозначим через H₁, H₂,..., H₇ основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны A₁A₂, A₂A₃,..., A₇A₁ соответственно. Известно, что точки H₁, H₂,..., H₇ лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. Доказать, что A₁H₁ + A₂H₂ + ... + A₇H₇ = H₁A₂ + H₂A₃ + ... + H₇A₁.

   Решение

---

Пусть M и N – середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC соответственно. Вневписанная окружность треугольника ACM касается стороны AM в точке Q, а прямой AC – в точке P. Докажите, что точки P, Q и N лежат на одной прямой.

   Решение

---

Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79268  (#1)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79269  (#2)

Темы:   [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79270  (#3)

Темы:   [ Поворот (прочее) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Две одинаковые шестерёнки имеют по 32 зубца. Их совместили и спилили одновременно 6 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79271  (#4)

Тема:   [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Из отрезков, имеющих длины a, b и c, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами , , также можно составить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79272  (#5)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Итерации ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Лемма о вложенных отрезках ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями