Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1981 год >> 10 класс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

a1, a2, ..., an — произвольные натуральные числа. Обозначим через bk количество чисел из набора a1, a2, ..., an, удовлетворяющих условию:  ai ≥ k.
Доказать, что   a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ...

Вниз   Решение

Может ли число n! оканчиваться цифрами 19760...0?

ВверхВниз   Решение

Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.

ВверхВниз   Решение

a1, a2, ..., an  – такие числа, что  a1 + a2 + ... + an = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj,  i ≠ j).

ВверхВниз   Решение

30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.
Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

ВверхВниз   Решение

Автор: Кукушкин Б.Н.

Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

ВверхВниз   Решение

a, b, c – такие три числа, что  abc > 0  и  a + b + c > 0.  Доказать, что  an + bn + cn > 0  при любом натуральном n.

ВверхВниз   Решение

В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены три наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены три наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее девяти чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.

ВверхВниз   Решение

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

ВверхВниз   Решение

Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.

ВверхВниз   Решение

На плоскости задано конечное множество точек. Доказать, что в нём найдётся точка, у которой имеется не более трёх ближайших к ней точек из этого же множества.

ВверхВниз   Решение

Даны окружность O, прямая a, пересекающая её, и точка M. Через точку M провести секущую b так, чтобы её часть, заключённая внутри окружности O, делилась пополам в точке её пересечения с прямой a.

ВверхВниз   Решение

a, b, c – любые положительные числа. Доказать, что   + + ≥ 3/2.

ВверхВниз   Решение

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?

ВверхВниз   Решение

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.

ВверхВниз   Решение

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

Задача 79400  (#1)

Тема:   [ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Рассматривается функция y = f (x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа k ≠ 0 соотношению f (x + k) . (1 − f (x)) = 1 + f (x). Доказать, что f (x) — периодическая функция.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79401  (#2)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4-
Классы: 11

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79402  (#3)

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что последовательность xn = sin(n2) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79403  (#4)

Темы:   [ Ломаные внутри квадрата ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79404  (#5)

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Формула Герона ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Целочисленные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Радиус вписанной в треугольник окружности равен $ {\frac{4}{3}}$, а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .