Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если (ABCX) = (ABCY), то X = Y (все точки попарно различны, кроме, быть может, точек X и Y, и лежат на одной прямой).

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Пусть M'K'H' — треугольник с вершинами в точках пересечения трёх проведённых отрезков. Может ли площадь полученного треугольника быть больше 0,499 площади треугольника ABC?

   Решение

---

В городе N с каждой станции метро на любую другую можно проехать. Доказать, что одну из станций можно закрыть на ремонт без права проезда через неё так, чтобы с любой из оставшихся станций можно было по-прежнему проехать на любую другую.

   Решение

---

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

   Решение

---

Найдите все натуральные числа, не представимые в виде разности квадратов каких-либо натуральных чисел.

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального  n ≥ 2  справедливо неравенство:   .

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97934  (#1)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

p(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых a и b выполняется равенство:  p(a) – p(b) = 1.
Докажите, что a и b различаются на 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97935  (#2)

Темы:   [ Покрытия ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97936  (#3)  [Обмены квартир]

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Композиции симметрий ] [ Группа перестановок ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97937  (#4)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального  n ≥ 2  справедливо неравенство:   .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108023  (#5)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан равносторонний треугольник ABC. Из его внутренней точки M опущены перпендикуляры MA', MB', MC' на стороны.
Найдите геометрическое место точек M, для которых треугольник A'B'C' – прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями