Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

   Решение

---

В окружность вписаны две равнобочные трапеции так, что каждая сторона одной трапеции параллельна некоторой стороне другой.
Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97958  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Можно ли подобрать такие два натуральных числа X и Y, что Y получается из X перестановкой цифр, и  X + Y = 9...9  (1111 девяток)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97960  (#2)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В окружность вписаны две равнобочные трапеции так, что каждая сторона одной трапеции параллельна некоторой стороне другой.
Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97959  (#2)

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Правильный тетраэдр ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Можно ли подобрать четыре непрозрачных попарно непересекающихся шара так, чтобы ими можно было загородить точечный источник света?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58097  (#3)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97962  (#3)

Темы:   [ Правило произведения ] [ Десятичная система счисления ] [ Сочетания и размещения ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями